Μαθηματικά Ε΄

Όταν δύο κλάσματα είναι ομώνυμα, μεγαλύτερο είναι εκείνο που έχει τον μεγαλύτερο αριθμητή.

Παραδείγματα

Ετερώνυμα κλάσματα με ίδιο αριθμητή

Μεγαλύτερο είναι εκείνο που έχει το μικρότερο παρονομαστή.

Παράδειγμα

Ετερώνυμα κλάσματα με διαφορετικό αριθμητή

α΄ τρόπος

Μετατρέπουμε τα ετερώνυμα κλάσματα σε δεκαδικούς αριθμούς και τα συγκρίνουμε.

Παράδειγμα

β΄ τρόπος

Μετατρέπουμε τα ετερώνυμα κλάσματα σε ομώνυμα και τα συγκρίνουμε. Για να φρεσκάρεις τη μνήμη σου κοίταξε εδώ πώς γίνεται η μετατροπή.

• πολλαπλασιάζω τον αριθμητή του κλάσματος με έναν αριθμό (όσες φορές θέλω να το μεγαλώσω)

ή

• διαιρώ τον παρονομαστή του κλάσματος με έναν αριθμό (όσες φορές θέλω να το μεγαλώσω).

Παράδειγμα

• διαιρώ τον αριθμητή του κλάσματος  με έναν αριθμό (όσες φορές θέλω να το μικρύνω)

ή

• πολλαπλασιάζω τον παρονομαστή του κλάσματος με έναν αριθμό (όσες φορές θέλω να το μικρύνω).

Παράδειγμα

Κάθε κλάσμα είναι το πηλίκο μιας διαίρεσης του αριθμητή με τον παρονομαστή.

Για να μετατρέψουμε ένα κλάσμα σε δεκαδικό αριθμό, διαιρούμε τον αριθμητή με τον παρονομαστή.

Παράδειγμα

Τον αριθμό αυτόν μπορούμε να τον γράψουμε και ως δεκαδικό κλάσμα.

Αν μια διαίρεση δεν δίνει ακριβές πηλίκο, τότε υπολογίζουμε το πηλίκο κατά προσέγγιση (περίπου) και σταματάμε στα χιλιοστά.

Παράδειγμα

Δύο ή περισσότερα κλάσματα που έχουν διαφορετικούς όρους, δηλαδή διαφορετικό αριθμητή & παρονομαστή, αλλά εκφράζουν την ίδια ποσότητα, λέγονται ισοδύναμα.

Π.χ.

Δημιουργώ ισοδύναμα κλάσματα πολλαπλασιάζοντας ή διαιρώντας και τους δύο όρους ενός κλάσματος με τον ίδιο αριθμό.

Για να μετατρέψουμε γρήγορα ένα κλάσμα (καταχρηστικό) σε μεικτό αριθμό...

1. Διαιρούμε τον αριθμητή με τον παρονομαστή.

2. Το πηλίκο της διαίρεσης είναι ο ακέραιος του μεικτού.

3. Το κλάσμα του μεικτού έχει αριθμητή το υπόλοιπο της διαίρεσης και παρονομαστή τον ίδιο με το αρχικό κλάσμα.

Παράδειγμα

Αν διαιρέσουμε τους όρους ενός καταχρηστικού κλάσματος, θα μας προκύψει ή ακέραιος ή μεικτός αριθμός.

Για να μετατρέψουμε γρήγορα έναν μεικτό αριθμό σε κλάσμα...

1. Πολλαπλασιάζουμε τον ακέραιο του μεικτού με τον παρονομαστή του κλάσματός του.

2. Στο γινόμενο που προκύπτει προσθέτουμε τον αριθμητή του μεικτού αριθμού.

3. Το αποτέλεσμα αποτελεί τον αριθμητή του νέου κλάσματος, ενώ παρονομαστής παραμένει ο ίδιος.

Παράδειγμα

Θέλω να μετατρέψω τα παρακάτω ετερώνυμα κλάσματα σε ομώνυμα.

Ακολουθώ τα εξής βήματα:

1. Βρίσκω ένα Κοινό Πολλαπλάσιο των παρονομαστών ή καλύτερα το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (Ε.Κ.Π.).

2. Γράφω στο ημικύκλιο (καπελάκι), πάνω από τον αριθμητή του κλάσματος, τον αριθμό εκείνο που, αν τον πολλαπλασιάσω με τον παρονομαστή, μου δίνει το Κοινό Πολλαπλάσιο ή το Ε.Κ.Π. (ανάλογα ποιο χρησιμοποίησα).

3. Πολλαπλασιάζω και τους δύο όρους του κλάσματος (αριθμητή και παρονομαστή) με τον αριθμό που είναι στο «καπελάκι».

4. Τα ισοδύναμα κλάσματα που προκύπτουν έχουν τον ίδιο παρονομαστή, δηλαδή είναι ομώνυμα.

Παράδειγμα

Πολλαπλάσια ενός αριθμού είναι οι αριθμοί που προκύπτουν αν πολλαπλασιάσουμε αυτόν τον αριθμό με άλλους. Π.χ.: 1 Χ 5 = 5, 2 Χ 5 = 10, 3 Χ 5 = 15, 4 Χ 5 = 20.

Κοινά πολλαπλάσια (Κ.Π.) δύο ή περισσότερων αριθμών είναι τα πολλαπλάσια τα οποία είναι ίδια σε όλους τους αριθμούς.

Π.χ.: Θέλουμε να βρούμε τα κοινά πολλαπλάσια του 2 και του 3 που είναι μικρότερα από το 20.

Π2 = 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20.

Π3 = 3, 6, 9, 12, 15, 18.

Τα κοινά πολλαπλάσια του 2 και του 3, που είναι μικρότερα από το 20, είναι τα 6, 12 και 18 ή Κ.Π.(2, 3) = 6, 12, 18.

Δεν μπορούμε να υπολογίσουμε τα κοινά πολλαπλάσια δύο ή περισσότερων αριθμών. Είναι πάρα πολλά (άπειρα).

Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (Ε.Κ.Π.) δύο ή περισσότερων αριθμών είναι το μικρότερο (ελάχιστο) από τα κοινά πολλαπλάσια των αριθμών.

Στο παραπάνω παράδειγμα το Ε.Κ.Π. των αριθμών 2 και 3 είναι το 6 ή Ε.Κ.Π.(2, 3) = 6.

Πώς βρίσκουμε το Ε.Κ.Π. δύο ή περισσότερων αριθμών

α΄ τρόπος

• Βρίσκουμε πρώτα τα πολλαπλάσια των αριθμών.

Π.χ.: τα πολλαπλάσια των αριθμών 4 και 6.

Π4 = 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 36...

Π6 = 6, 12, 18, 24, 30...

• Επιλέγουμε τα κοινά πολλαπλάσια.

Π4 = 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 36...

Π6 = 6, 12, 18, 24, 30...

Κ.Π.(4, 6) = 12, 24.

Το μικρότερο (ελάχιστο) από τα κοινά πολλαπλάσια είναι το Ε.Κ.Π., δηλαδή το 12.

Ε.Κ.Π.(4, 6) = 12.

Για να προσθέσουμε ή να αφαιρέσουμε ετερώνυμα κλάσματα, πρέπει πρώτα να τα μετατρέψουμε σε ομώνυμα. Εδώ μπορείς να θυμηθείς πώς γίνεται η μετατροπή.

Παράδειγμα:

Αν έχουμε μεικτούς αριθμούς που τα κλασματικά τους μέρη είναι ετερώνυμα κλάσματα, τους μετατρέπουμε πρώτα σε κλάσματα και μετά μετατρέπουμε τα ετερώνυμα κλάσματα σε ομώνυμα.

Διαιρέτες

Παίρνουμε τον αριθμό 36. Ο αριθμός αυτός διαιρείται ακριβώς:

Παρατηρούμε ότι ο αριθμός 36 διαιρείται ακριβώς με τους αριθμούς 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 και 36. Οι αριθμοί αυτοί λέγονται διαιρέτες του αριθμού 36.

Διαιρέτης ενός αριθμού λέγεται ο φυσικός αριθμός που τον διαιρεί ακριβώς.

 Κοινοί Διαιρέτες (Κ.Δ.)

Παίρνουμε τους αριθμούς 24, 32, 40 και βρίσκουμε ποιοι αριθμοί τους διαιρούν ακριβώς, δηλαδή τους διαιρέτες των αριθμών.

Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης (Μ.Κ.Δ.)

Από τους παραπάνω κοινού διαιρέτες, ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης, ο Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης δηλαδή, είναι ο αριθμός 8.

Πώς βρίσκουμε τον Μ.Κ.Δ. δύο ή περισσότερων αριθμών

Θέλω να βρω, για παράδειγμα, τον Μ.Κ.Δ. των αριθμών 24, 36 και 96.

α΄ τρόπος

• Βρίσκουμε πρώτα τους διαιρέτες των αριθμών.

Δ24 = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.

Δ36 = 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.

Δ96 = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 48, 96.

• Ξεχωρίζω τους κοινούς διαιρέτες: 1, 2, 3, 4, 6 και 12.

• Ο μεγαλύτερος (μέγιστος) από τους κοινούς διαιρέτες είναι ο αριθμός 12. ή Μ.Κ.Δ.(24, 36, 96) = 12

Για να πολλαπλασιάσουμε δύο κλάσματα, σχηματίζουμε ένα νέο κλάσμα που έχει στον αριθμητή το γινόμενο των αριθμητών και στον παρονομαστή το γινόμενο των παρονομαστών.

Παράδειγμα

Με όποια σειρά κι αν πολλαπλασιάσουμε δύο κλάσματα το αποτέλεσμα είναι το ίδιο.

Παράδειγμα

Κάθε ακέραιος μπορεί να γραφτεί ως κλάσμα με παρονομαστή τη μονάδα.

Αντίστροφοι αριθμοί

Δύο αριθμοί λέγονται αντίστροφοι, όταν το γινόμενό τους είναι ακριβώς 1.

☑ Πολλαπλασιασμός ακέραιου αριθμού με κλάσμα

☑ Πολλαπλασιασμός μεικτού αριθμού με κλάσμα

Αν θέλουμε να πολλαπλασιάσουμε μεικτό αριθμό με κλάσμα, μπορούμε να μετατρέψουμε το μεικτό αριθμό σε κλάσμα και στη συνέχεια να κάνουμε πολλαπλασιασμό κλασμάτων.

☑ Πολλαπλασιασμός δεκαδικού αριθμού με κλάσμα

Αν θέλουμε να πολλαπλασιάσουμε δεκαδικό αριθμό με κλάσμα, μπορούμε να μετατρέψουμε το δεκαδικό αριθμό σε δεκαδικό κλάσμα και στη συνέχεια να κάνουμε πολλαπλασιασμό κλασμάτων.

Για να διαιρέσουμε δύο κλάσματα, αντιστρέφουμε τους όρους του δεύτερου κλάσματος (δηλαδή τον αντίστροφο αριθμό του διαιρέτη) και κάνουμε πολλαπλασιασμό.

Παράδειγμα

Μερικές ακόμα πληροφορίες για τη διαίρεση κλασμάτων

Ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση είναι πράξεις αντίστροφες. Αν θέλω να διαιρέσω έναν αριθμό με το 2 για παράδειγμα μπορώ να το κάνω ως εξής:

Δηλαδή να διαιρέσω με το 2 ή να πολλαπλασιάσω με το 1/2 που είναι ο αντίστροφος του αριθμού 2.

Και κάτι ακόμα...

Μπορώ να κάνω διαίρεση κλασμάτων μετατρέποντας τα κλάσματα σε ομώνυμα και βρίσκοντας πόσες φορές χωράει το ένα στο άλλο.

Παράδειγμα

Για να μην μπερδεύεσαι, διαίρεση κλασμάτων θα κάνεις με τον αρχικό τρόπο, δηλαδή θα αντιστρέφεις τους όρους του κλάσματος και θα κάνεις πολλαπλασιασμό. Αν χρειάζεται, απλοποιείς το κλάσμα στο τέλος.